Question

2．已知正方形ABCD的邊長為2，E為線段CD（含端點）上一動點，則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$的最大值為4．

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow{DE}=λ\overrightarrow{DC}$，用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{BD}$，得出$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$關(guān)于λ的函數(shù)，根據(jù)λ的范圍求出最大值．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{DE}=λ\overrightarrow{DC}=λ\overrightarrow{AB}$，則$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AD}+λ\overrightarrow{AB}$，
又$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=（$\overrightarrow{AD}+λ\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$）=${\overrightarrow{AD}}^{2}$-λ${\overrightarrow{AB}}^{2}$+（λ-1）$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=4-4λ．
∵0≤λ＜1，
∴當(dāng)λ=0時，$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$取得最大值4．
故答案為：4．

點評 本題考查了平面向量的線性運算，數(shù)量級運算，屬于中檔題．