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5.已知曲線C1的參數(shù)方程是{x=2cosθy=2+2sinθ(θ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立平面直角坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程是ρ=-4cosθ.
(1)求曲線C1和C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo);
(2)A、B兩點(diǎn)分別在曲線C1與C2上,當(dāng)|AB|最大時(shí),求△OAB的面積.

分析 (1)由{x=2cosθy=2+2sinθ{x=2cosθy2=2sinθ,兩式平方作和可得直角坐標(biāo)方程,由ρ=-4cosθ可得:ρ2=ρcosθ,把ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,代入可得直角坐標(biāo)方程,聯(lián)立解得交點(diǎn)坐標(biāo).
(2)由平面幾何知識(shí)可知,當(dāng)A、C1、C2、B依次排列且共線時(shí)|AB|最大,此時(shí)|AB|=22+4,O到直線AB的距離為2,即可得出.

解答 解:(1)由{x=2cosθy=2+2sinθ{x=2cosθy2=2sinθ
兩式平方作和得:x2+(y-2)2=4,即x2+y2-4y=0.①
由ρ=-4cosθ⇒ρ2=ρcosθ,即x2+y2=-4x②
②-①:x+y=0,代入曲線C1的方程得交點(diǎn)為(0,0)和(-2,2).
(2)由平面幾何知識(shí)可知,當(dāng)A、C1、C2、B依次排列且共線時(shí)|AB|最大,此時(shí)|AB|=22+4,O到直線AB的距離為2,
∴△OAB的面積為:S=12×22+4×2=2+22

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)、參數(shù)方程化為普通方程、曲線交點(diǎn)坐標(biāo)、三角形面積計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(Ⅰ)求曲線C1和曲線C2的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)P是曲線C1上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作線段OP的垂線交曲線C2于點(diǎn)Q,求線段PQ長(zhǎng)度的最小值.

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