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5.已知曲線C1的參數(shù)方程是\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2+2sinθ\end{array}\right.(θ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立平面直角坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程是ρ=-4cosθ.
(1)求曲線C1和C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo);
(2)A、B兩點(diǎn)分別在曲線C1與C2上,當(dāng)|AB|最大時,求△OAB的面積.

分析 (1)由\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2+2sinθ\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y-2=2sinθ\end{array}\right.,兩式平方作和可得直角坐標(biāo)方程,由ρ=-4cosθ可得:ρ2=ρcosθ,把ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,代入可得直角坐標(biāo)方程,聯(lián)立解得交點(diǎn)坐標(biāo).
(2)由平面幾何知識可知,當(dāng)A、C1、C2、B依次排列且共線時|AB|最大,此時|{AB}|=2\sqrt{2}+4,O到直線AB的距離為\sqrt{2},即可得出.

解答 解:(1)由\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2+2sinθ\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y-2=2sinθ\end{array}\right.
兩式平方作和得:x2+(y-2)2=4,即x2+y2-4y=0.①
由ρ=-4cosθ⇒ρ2=ρcosθ,即x2+y2=-4x②
②-①:x+y=0,代入曲線C1的方程得交點(diǎn)為(0,0)和(-2,2).
(2)由平面幾何知識可知,當(dāng)A、C1、C2、B依次排列且共線時|AB|最大,此時|{AB}|=2\sqrt{2}+4,O到直線AB的距離為\sqrt{2},
∴△OAB的面積為:S=\frac{1}{2}×({2\sqrt{2}+4})×\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)、參數(shù)方程化為普通方程、曲線交點(diǎn)坐標(biāo)、三角形面積計算公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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(Ⅰ)求曲線C1和曲線C2的直角坐標(biāo)方程;
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