Question

19．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|{lnx}|，x＞0\\{x^2}+4x+1，x≤0\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程 f²（x）-bf（x）+c=0（b，c∈R）有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則$\frac{c-2}{b-1}$的取值范圍為（-∞，-1]∪[2，+∞）．

Answer 1

分析 題中原方程f²（x）-bf（x）+c=0有8個(gè)不同實(shí)數(shù)解，即要求對(duì)應(yīng)于f（x）=某個(gè)常數(shù)K，有2個(gè)不同的K，再根據(jù)函數(shù)對(duì)應(yīng)法則，每一個(gè)常數(shù)可以找到4個(gè)x與之對(duì)應(yīng)，就出現(xiàn)了8個(gè)不同實(shí)數(shù)解，故先根據(jù)題意作出f（x）的簡(jiǎn)圖，由圖可知，只有滿足條件的K在開(kāi)區(qū)間（0，1）時(shí)符合題意．再根據(jù)一元二次方程根的分布理論可以得出答案．

解答 解：根據(jù)題意作出f（x）的簡(jiǎn)圖：

由圖象可得當(dāng)f（x）∈（0，1]時(shí)，有四個(gè)不同的x與f（x）對(duì)應(yīng)．
再結(jié)合題中“方程f²（x）-bf（x）+c=0有8個(gè)不同實(shí)數(shù)解”，
可以分解為形如關(guān)于k的方程k²-bk+c=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根K₁、K₂，
且K₁和K₂均為大于0且小于等于1的實(shí)數(shù)，
列式如下：$\left\{\begin{array}{l}{^{2}-4c＞0}\\{0＜\frac{2}＜1}\\{{0}^{2}-b×0+c＞0}\\{{1}^{2}-b+c≥0}\end{array}\right.$，化簡(jiǎn)得 $\left\{\begin{array}{l}{c＜\frac{^{2}}{4}}\\{1-b+c≥0}\\{c＞0}\\{0＜b＜2}\end{array}\right.$，
此不等式組表示的區(qū)域如圖：

而$\frac{c-2}{b-1}$幾何意義表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)和（1，2）的直線的斜率，
結(jié)合圖象K_OA=2，K_AB=-1，
故z＞2或z＜-1，
故答案為：（-∞，-1]∪[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的圖象與一元二次方程根的分布的知識(shí)，同時(shí)考查線性規(guī)劃等知識(shí)，較為綜合；采用數(shù)形結(jié)合的方法解決，使本題變得易于理解．