Question

4．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁被平面B₁D₁C截去一部分后得到幾何體AB₁D₁-ABCD．如圖所示．
（1）在幾何體AB₁D₁-ABCD的面上畫出一條線段，使該線段所在的直線平行于平面B₁D₁C．
（2）設(shè)E為B₁D₁的中點，求證：B₁D₁⊥平面A₁ECA．

Answer 1

分析 （1）連接BD，則BD∥平面B₁D₁C，利用正方形的性質(zhì)及線面平行的判定定理即可證明．
（2）利用等腰三角形的性質(zhì)可得B₁D₁⊥A₁E，進(jìn)而利用線面垂直的判定定理即可證明．

解答 解：（1）如圖，連接BD，則BD∥平面B₁D₁C，
證明：∵由已知可得：BD∥B₁D₁，且BD?平面AB₁D₁，
∴BD∥平面B₁D₁C．

（2）證明：在等腰A₁B₁D₁中，E為B₁D₁的中點，
所以，B₁D₁⊥A₁E，
由已知可得：AA₁⊥平面A₁B₁D₁，
所以，AA₁⊥B₁D₁，
所以，B₁D₁⊥平面A₁ECA．

點評 本題主要考查了線面平行的判定定理，等腰三角形的性質(zhì)，線面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．