Question

8．設函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{g（x），x≤0}\\{lnx，x＞0}\end{array}\right.$，其中對?x₁，x₂∈（-∞，0]，且x₁≠x₂均有x₁g（x₁）+x₂g（x₂）＞x₁g（x₂）+x₂g（x₁）成立，且g（0）=1，若不等式f（x-a）≤1（a∈R）的解集為D，且2e∈D（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則a的最小值為（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． e
• D． 2e

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義可得g（x）在（-∞，0]內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)題意作出函數(shù)f（x）的簡圖，利用樹形結(jié)合的思想即可求出．

解答 解：對?x₁，x₂∈（-∞，0]，且x₁≠x₂均有x₁g（x₁）+x₂g（x₂）＞x₁g（x₂）+x₂g（x₁），
∴[g（x₂）-g（x₁）]（x₂-x₁）＞0，
∴g（x）在（-∞，0]內(nèi)單調(diào)遞增，
根據(jù)題意作出函數(shù)f（x）的簡圖，如圖所述，
令f（x）≤1，由f（x）的圖象可知x≤e，
若f（x-a）≤1，則x≤e+a，
∴D=（-∞，e+a]，
又2e∈D，
∴2e≤a+e，
∴a≥e，則a的最小值是e，
故選：C．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的單調(diào)性的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．