Question

5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），橢圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}$ （θ為參數(shù)）（1）．直線l的極坐標(biāo)方程與橢圓C的普通方程（2）設(shè)P（1，0）直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求線段||PA|-|PB||的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）消去參數(shù)t可得直線的普通方程，ρcosθ=x，ρsinθ=y帶入可得直線的極坐標(biāo)方程；根據(jù)sin²θ+cos²θ=1消去參數(shù)θ可得橢圓C的普通方程．
（2）利用直線參數(shù)方程的幾何意義，將參數(shù)方程帶入橢圓C的普通方程，根據(jù)韋達(dá)定理求解即可．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得：y=$\sqrt{3}$（x-1），即y=$\sqrt{3}x-3$
根據(jù)=x，ρsinθ=y，可得直線的極坐標(biāo)方程為：ρsinθ-$\sqrt{3}$ρcosθ+3=0
橢圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}$ （θ為參數(shù)），可得：$\frac{x}{2}=cosθ$，$\frac{y}{\sqrt{3}}=sinθ$
∵sin²θ+cos²θ=1
∴$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$
故得橢圓C的普通方程為∴$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$
（2）將直線l的參數(shù)方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$
得：$3{（1+\frac{1}{2}t）^2}+4{（\frac{{\sqrt{3}}}{2}t）^2}=12$，即5t²+4t-12=0，
解得：${t_1}+{t_2}=-\frac{4}{5}$，${t_1}{t_2}=-\frac{12}{5}$．
故得：$AB=||{t_1}|-|{t_2}||=|{t_1}+{t_2}|=\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、普通方程的互化，以及應(yīng)用，考查了直線參數(shù)方程的幾何意義，屬于中檔題