Question

20．在極坐標系中，曲線C₁的極坐標方程為ρsin（$\frac{π}{4}$-θ）=2$\sqrt{2}$，以極點O為原點，極軸為x軸的非負半軸建立平面直角坐標系，曲線C₂的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+5cosθ}\\{y=4+5sinθ}\end{array}\right.$ （θ為參數）．
（1）求曲線C₁的直角坐標系方程和曲線C₂的普通方程；
（2）若曲線C₁、C₂交于A、B兩點，D為曲線C₂上的動點，求S_△DAB的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用ρcosθ=x，ρsinθ=y進行代換即得曲線C₁的直角坐標系方程；利用sin²θ+cos²θ=1消去參數可得曲線C₂的普通方程．
（2）聯立方程組求解A，B坐標，可得|AB|的長度，高最大值時，可得S_△DAB的最大值．高最大值為d+r（圓心到直線的距離）

解答 解：（1）曲線C₁的極坐標方程為ρsin（$\frac{π}{4}$-θ）=2$\sqrt{2}$，
可得：ρcosθsin$\frac{π}{4}$-ρsinθcos$\frac{π}{4}$=2$\sqrt{2}$
根據ρcosθ=x，ρsinθ=y可得：x-y=4．
即曲線C₁的直角坐標系方程為：x-y=4．
曲線C₂的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+5cosθ}\\{y=4+5sinθ}\end{array}\right.$ （θ為參數）．則5cosθ=x-3，5sinθ=y-4
∵sin²θ+cos²θ=1
∴（x-3）²+（y-4）²=25，
故得曲線C₂的普通方程為（x-3）²+（y-4）²=25．圓心為（3，4），半徑r=5
（2）曲線C₁、C₂交于A、B兩點，
聯立方程組：$\left\{\begin{array}{l}{（x-3）^2+（y-4）^2=25}\\{x-y=4}\end{array}\right.$，消去y可得x²-11x+24=0
那么：x₁+x₂=11，x₁x₂=24
可得弦長|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{k}}×\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$5\sqrt{2}$．
高最大值時，可得S_△DAB的最大值．
圓心到直線的距離d=$\frac{|3-4-4|}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$
則高最大值為d+r，即$\frac{5\sqrt{2}+10}{2}$
∴S_△DAB的最大值值為：$\frac{1}{2}$×$\frac{5\sqrt{2}+10}{2}$×$5\sqrt{2}$=$\frac{25+25\sqrt{2}}{2}$

點評 本題考查參數方程、極坐標方程、普通方程的互化，以及應用，考查了弦長公式，點到直線的距離公式．屬于中檔題．