Question

9．甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時，負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判，假設(shè)每局比賽中，甲勝乙的概率為$\frac{1}{2}$，甲勝丙、乙勝丙的概率都為$\frac{2}{3}$，各局比賽的結(jié)果都相互獨(dú)立，第1局甲當(dāng)裁判．
（1）求第3局甲當(dāng)裁判的概率；
（2）記前4局中乙當(dāng)裁判的次數(shù)為X，求X的概率分布與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）第2局中可能是乙當(dāng)裁判，其概率為$\frac{1}{3}$，也可能是丙當(dāng)裁判，其概率為$\frac{2}{3}$，由此能求出第3局甲當(dāng)裁判的概率．
（2）由題意X可能的取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的概率分布與數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）第2局中可能是乙當(dāng)裁判，其概率為$\frac{1}{3}$，
也可能是丙當(dāng)裁判，其概率為$\frac{2}{3}$，
∴第3局甲當(dāng)裁判的概率為$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{2}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{4}{9}$．…（4分）
（2）由題意X可能的取值為0，1，2．…（5分）
P（X=0）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$，…（6分）
P（X=1）=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{2}{3}×\frac{1}{2}）+\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{17}{27}$，…（7分）
P（X=2）=$\frac{1}{3}×（\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}）$=$\frac{4}{27}$．…（8分）
∴X的概率分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{17}{27}$	$\frac{4}{27}$

∴X的數(shù)學(xué)期望E（X）=$0×\frac{2}{9}+1×\frac{17}{27}+2×\frac{4}{27}$=$\frac{25}{27}$．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．