Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2a_n-1，則滿足$\frac{a_n}{n}≤2$的正整數(shù)n的集合為（　　）

• A． {1，2}
• B． {1，2，3，4}
• C． {1，2，3}
• D． {1，2，4}

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2a_n-1，∴n=1時(shí)，a₁=2a₁-1，解得a₁．n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，化為：a_n=2a_n-1，利用等比數(shù)列的不等式可得a_n=2^n-1，不等式$\frac{a_n}{n}≤2$即2^n-2≤n，即可得出．

解答 解：數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2a_n-1，∴n=1時(shí)，a₁=2a₁-1，解得a₁=1．
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1），化為：a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為2．
∴a_n=2^n-1，
不等式$\frac{a_n}{n}≤2$即2^n-2≤n，
當(dāng)n=1，2，3，4時(shí)，滿足上述不等式．
n≥5時(shí)，上述不等式不成立．
∴滿足$\frac{a_n}{n}≤2$的正整數(shù)n的集合為{1，2，3，4}．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列通項(xiàng)公式、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．