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20.設(shè)F1,F(xiàn)2為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),過(guò)右焦點(diǎn)的直線l與橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于M點(diǎn),且滿足AF2=3F2B,MA=AF2,則橢圓的離心率為63

分析 由題意畫出圖形,得到A的橫坐標(biāo),代入橢圓方程求得A的縱坐標(biāo),結(jié)合AF2=3F2B求得B的坐標(biāo),代入橢圓方程整理得答案.

解答 解:如圖,
MA=AF2,∴A為MF2的中點(diǎn),則xA=c2
代入c24a2+yA22=1,得yA2=23a2+24a2,∴{y}_{A}=-\frac{2a}\sqrt{3{a}^{2}+^{2}}
設(shè)B(xB,yB),則\overrightarrow{A{F}_{2}}=(\frac{c}{2},\frac{2a}\sqrt{3{a}^{2}+^{2}}),F2B=xBcyB,
AF2=3F2B,得{c2=3xB3c2a3a2+2=3yB,即\left\{\begin{array}{l}{{x}_{B}=\frac{7c}{6}}\\{{y}_{B}=\frac{6a}\sqrt{3{a}^{2}+^{2}}}\end{array}\right.
代入橢圓方程可得:49c236a2+23a2+236a22=1,整理得:3c2=2a2,即ca=63
故答案為:63

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,訓(xùn)練了平面向量在求解圓錐曲線問(wèn)題中的應(yīng)用,是中檔題.

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