分析 由題意畫出圖形,得到A的橫坐標(biāo),代入橢圓方程求得A的縱坐標(biāo),結(jié)合→AF2=3→F2B求得B的坐標(biāo),代入橢圓方程整理得答案.
解答 解:如圖,
∵→MA=→AF2,∴A為MF2的中點(diǎn),則xA=c2,
代入c24a2+yA22=1,得yA2=2(3a2+2)4a2,∴{y}_{A}=-\frac{2a}\sqrt{3{a}^{2}+^{2}},
設(shè)B(xB,yB),則\overrightarrow{A{F}_{2}}=(\frac{c}{2},\frac{2a}\sqrt{3{a}^{2}+^{2}}),→F2B=(xB−c,yB),
由→AF2=3→F2B,得{c2=3xB−3c2a√3a2+2=3yB,即\left\{\begin{array}{l}{{x}_{B}=\frac{7c}{6}}\\{{y}_{B}=\frac{6a}\sqrt{3{a}^{2}+^{2}}}\end{array}\right.,
代入橢圓方程可得:49c236a2+2(3a2+2)36a22=1,整理得:3c2=2a2,即ca=√63.
故答案為:√63.
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,訓(xùn)練了平面向量在求解圓錐曲線問(wèn)題中的應(yīng)用,是中檔題.
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A. | 8√3 | B. | 16 | C. | 16√3 | D. | 32 |
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