Question

8．在直角坐標系xoy中，已知曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ為參數）．以原點O為極點，以x軸的非負半軸為極軸，與直角坐標系xoy取相同的單位長度，建立極坐標系．已知直線l的極坐標方程為ρ（2cosθ-sinθ）=6．
（1）將曲線C₁上的所有點的橫坐標，縱坐標分別伸長為原來的$\sqrt{3}$，2倍后得到曲線C₂，試寫出曲線C₂的參數方程和直線l的直角坐標方程；
（2）求曲線C₂上求一點P，使P到直線l的距離最大，并求出此最大值．

Answer 1

分析 （1）由直線l的極坐標方程為ρ（2cosθ-sinθ）=6，利用互化公式可得直角坐標方程．曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ為參數），利用平方關系可得普通方程．將曲線C₁上的所有點的橫坐標，縱坐標分別伸長為原來的$\sqrt{3}$，2倍后得到曲線C₂，可得：$（\frac{x}{\sqrt{3}}）^{2}+（\frac{y}{2}）^{2}$=1，利用平方關系可得參數方程．
（2）設點P$（\sqrt{3}cosθ，2sinθ）$，則P到直線l的距離d=$\frac{|4sin（\frac{π}{3}-θ）-6|}{\sqrt{5}}$，利用三角函數的單調性值域即可得出最大值．

解答 解：（1）由直線l的極坐標方程為ρ（2cosθ-sinθ）=6，利用互化公式可得直角坐標方程：2x-y-6=0．
曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ為參數），利用平方關系可得普通方程：x²+y²=1．
將曲線C₁上的所有點的橫坐標，縱坐標分別伸長為原來的$\sqrt{3}$，2倍后得到曲線C₂，可得：$（\frac{x}{\sqrt{3}}）^{2}+（\frac{y}{2}）^{2}$=1，
∴曲線C₂的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數）．
（2）設點P$（\sqrt{3}cosθ，2sinθ）$，
則P到直線l的距離d=$\frac{|2\sqrt{3}cosθ-2sinθ-6|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|4sin（\frac{π}{3}-θ）-6|}{\sqrt{5}}$≤$\frac{10}{\sqrt{5}}$=2$\sqrt{5}$，當且僅當$sin（\frac{π}{3}-θ）$=-1時取等號，取θ=$\frac{5π}{6}$．
∴P$（-\frac{3}{2}，1）$到直線l的距離最大值為2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程互化公式、參數方程化為普通方程、點到直線的距離公式、三角函數的單調性與值域、橢圓參數方程的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．