Question

14．已知直線l：2x+my-2-3m=0（m∈R）．
（1）判斷直線l與圓x²+y²-4x-6y+9=0的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）求實(shí)數(shù)m的取值范圍，使得總能找到一個(gè)同事滿足下列條件的圓與直線l相切：①面積為π；②其某條直徑的兩端點(diǎn)分別在兩個(gè)坐標(biāo)軸上．

Answer 1

分析 （1）求出直線恒過的坐標(biāo)，判斷與圓的位置關(guān)系可得答案；
（2）由題意，面積為π，可知?jiǎng)訄A半徑為1；兩端點(diǎn)分別在兩個(gè)坐標(biāo)軸上，可知圓必過（0，0），設(shè)出圓心為（a，b），可得a²+b²=1，則動(dòng)圓的圓心C在以（0，0）為圓心，1為半徑的圓上，從而可得動(dòng)圓C掃過的區(qū)域?yàn)閤²+y²≤4，根據(jù)直線與圓相切，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：直線l：2x+my-2-3m=0（m∈R）．即m（y-3）+2x-2=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{y-3=0}\\{2x-2=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$
∴直線恒過的坐標(biāo)為P（1，3）
∵圓x²+y²-4x-6y+9=0，帶入P可得1+9-1-18+9＜0，
∴P（1，3）在圓的內(nèi)部，
故得直線l與圓x²+y²-4x-6y+9=0必相交．
由題意，面積為π，可知?jiǎng)訄A半徑為1；兩端點(diǎn)分別在兩個(gè)坐標(biāo)軸上，可知圓必過（0，0），設(shè)出圓心為（a，b），可得a²+b²=1，則動(dòng)圓的圓心C在以（0，0）為圓心，1為半徑的圓上，從而可得動(dòng)圓C掃過的區(qū)域?yàn)閤²+y²≤4，
∵圓與直線l相切：
∴動(dòng)直線必過掃過的區(qū)域x²+y²≤4，
可得：原心（0，0）到動(dòng)直線的距離小于等于2，即$\frac{|2×0+m×0-2-3m|}{\sqrt{4+{m}^{2}}}≤2$，
解得：$\frac{-6-4\sqrt{6}}{5}$$≤m≤\frac{-6+4\sqrt{6}}{5}$．
故得實(shí)數(shù)m的取值范圍[$\frac{-6-4\sqrt{6}}{5}$，$\frac{-6+4\sqrt{6}}{5}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的判斷，根據(jù)直線和圓相切的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．