Question

14．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0 ） 經(jīng)過點 P（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），離心率 e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設過點E （0，-2 ） 的直線l與C相交于P，Q 兩點，求△OPQ面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由點$P（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$在橢圓上，離心率 e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．求出a，b，由此能求出橢圓C的標準方程．
（Ⅱ）設l：y=kx-2，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），將y=kx-2代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，得（1+4k²）x²-16kx+12=0．由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式、基本不等式，結合已知條件能求出△OPQ的面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由點$P（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$在橢圓上得，$\frac{1}{a^2}+\frac{3}{{4{b^2}}}=1$①
$又e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，所以\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$②
由①②得c²=3，a²=4，b²=1，
故橢圓C的標準方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…．（5分）
（Ⅱ）當l⊥x軸時，不合題意，
故設l：y=kx-2，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
將y=kx-2代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，得：
（1+4k²）x²-16kx+12=0．
當△=16（4k²-3）＞0，即${k}^{2}＞\frac{3}{4}$時，${x}_{1，2}=\frac{8k±2\sqrt{4{k}^{2}-2}}{4{k}^{2}+1}$，
∴|PQ|=$\sqrt{{k}^{2}+1}$|x₁-x₂|=$\frac{4\sqrt{{k}^{2}+1}•\sqrt{4{k}^{2}-3}}{4{k}^{2}+1}$，
又點O到直線PQ的距離d=$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴△OPQ的面積S_△OPQ=$\frac{1}{2}d•|PQ|$=$\frac{4\sqrt{4{k}^{2}-3}}{4{k}^{2}+1}$．…（9分）
設$\sqrt{4{k}^{2}-3}=t$，則t＞0，
S_△OPQ=$\frac{4t}{{t}^{2}+4}=\frac{4}{t+\frac{4}{t}}$，
∵t+$\frac{4}{t}$≥4，
當且僅當t=2時，即k=$±\frac{\sqrt{7}}{2}$時等號成立，且滿足△＞0，
∴△OPQ的面積的最大值為1．…（9分）

點評 本題考查橢圓性質(zhì)、根的判別式、韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式、基本不等式等基礎知識，考查考查推理論證能力、數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉化思想，屬于中檔題．