【題目】已知兩點，，動點與兩點連線的斜率滿足.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）是曲線與軸正半軸的交點，曲線上是否存在兩點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請說明有幾個；若不存在，請說明理由.

【答案】（Ⅰ）（）；（Ⅱ）3個

【解析】試題（Ⅰ）求動點的軌跡方程的一般步驟：1．建系——建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．2．設(shè)點——設(shè)軌跡上的任一點P（x，y）．3．列式——列出動點P所滿足的關(guān)系式．4．代換——依條件式的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，并化簡．5．證明——證明所求方程即為符合條件的動點的軌跡方程．

（Ⅱ）由題意可知設(shè)所在直線的方程為，則所在直線的方程為分別聯(lián)立橢圓方程求得弦長，,再由得解方程即可

試題解析：（Ⅰ）設(shè)點的坐標(biāo)為（）,則,, 2分

依題意,所以,化簡得, 4分

所以動點的軌跡的方程為（）. 5分

注:如果未說明（或注）,扣1分.

（Ⅱ）設(shè)能構(gòu)成等腰直角,其中為,

由題意可知,直角邊,不可能垂直或平行于軸,故可設(shè)所在直線的方程為,

（不妨設(shè)）,則所在直線的方程為7分

聯(lián)立方程,消去整理得,解得,

將代入可得,故點的坐標(biāo)為.

所以, 9分

同理可得,由,得,

所以,整理得,解得或11分

當(dāng)斜率時,斜率；當(dāng)斜率時,斜率；

當(dāng)斜率時,斜率,

綜上所述,符合條件的三角形有個. 14分

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線：與直線（）交于，兩點．

（1）當(dāng)時，分別求在點和處的切線方程；

（2）軸上是否存在點，使得當(dāng)變動時，總有？說明理由．

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【題目】某種汽車購買時費用為14．4萬元，每年應(yīng)交付保險費、養(yǎng)路費及汽油費共0.9萬元，汽車的維修費為：第一年0.2萬元，第二年0.4萬元，第三年0.6萬元，……，依等差數(shù)列逐年遞增．

（Ⅰ）設(shè)使用n年該車的總費用（包括購車費用）為f(n)，試寫出f(n)的表達(dá)式；

（Ⅱ）求這種汽車使用多少年報廢最合算（即該車使用多少年平均費用最少）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線，直線交于兩點， 是的中點，過作軸的垂線交于點.

（1）證明：拋物線在點處的切線與平行；

（2）是否存在實數(shù)，使以為直徑的圓經(jīng)過點？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，是橢圓的左、右焦點，過作直線交橢圓于兩點，若的周長為8.

（1）求橢圓方程；

（2）若直線的斜率不為0，且它的中垂線與軸交于點，求點的縱坐標(biāo)的范圍；

（3）是否在軸上存在點，使得軸平分？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，（為常數(shù)）.

（1）當(dāng)時，判斷在的單調(diào)性，并用定義證明；

（2）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍；

（3）討論零點的個數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了解春季晝夜溫差大小與某種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系，分別記錄了4月1日至4月5日每天的晝夜溫差與每天100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)，得到如下表格：

日期

4月1日

4月2日

4月3日

4月4日

4月5日

溫差

12

11

13

10

8

發(fā)芽率顆

26

25

30

23

16

（1）從這5天中任選2天，求至少有一天種子發(fā)芽數(shù)超過25顆的概率；

（2）請根據(jù)4月1日、4月2日、4月3日這3天的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程；

（3）根據(jù)（2）中所得的線性回歸方程，預(yù)測溫差為時，種子發(fā)芽的顆數(shù)．

參考公式：，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的兩個焦點，，離心率為，的周長等于，點、在橢圓上，且在邊上.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）如圖，過圓上任意一點作橢圓的兩條切線和與圓交與點、，求面積的最大值.

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【題目】已知點、為雙曲線的左、右焦點，過作垂直于軸的直線，在軸上方交雙曲線于點，且，圓的方程是.

（1）求雙曲線的方程；

（2）過雙曲線上任意一點作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為、，求的值；

（3）過圓上任意一點作圓的切線交雙曲線于、兩點，中點為，求證：

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