Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且滿足2Sn+an=1；遞增的等差數(shù)列{bn}滿足b1=1，b3=﹣4．
（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）若cn是an ， bn的等比中項(xiàng)，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn；
（3）若c≤t2+2t﹣2對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1 ， 2S1+a1=1，解得a1=；
當(dāng)n＞1時(shí)，2Sn+an=1，可得2Sn﹣1+an﹣1=1，
相減即有2an+an﹣an﹣1=0，即為an=an﹣1 ，
則an=（）n；
設(shè)遞增的等差數(shù)列{bn}的公差為d，即有1+2d=（1+d）2﹣4，
解得d=2，則bn=2n﹣1；
（2）cn是an ， bn的等比中項(xiàng)，可得=anbn=（2n﹣1）（）n；
前n項(xiàng)和Tn=1+3（）2+5（）3+…+（2n﹣1）（）n；
Tn=1（）2+3（）3+5（）4+…+（2n﹣1）（）n+1；
相減可得Tn=+2[（）2+（）3+…+（）n]﹣（2n﹣1）（）n+1
=+2﹣（2n﹣1）（）n+1；
化簡(jiǎn)可得前n項(xiàng)和Tn=1﹣（n+1）（）n；
（3）≤t2+2t﹣2對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，即為
（2n﹣1）（）n≤t2+2t﹣2恒成立．
由ccn+12﹣=（2n+1）（）n+1﹣（2n﹣1）（）n=（）n（1﹣n）≤0，
可得數(shù)列{}單調(diào)遞減，即有最大值為c12=，
則≤t2+2t﹣2，解得t≥1或t≤﹣7．
即實(shí)數(shù)t的取值范圍為（﹣∞，﹣7]∪[1，+∞）．
【解析】（1）討論n=1時(shí)，a1=S1 ， 當(dāng)n＞1時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得d，即可得到所求{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)，求得=anbn=（2n﹣1）（）n；再由數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，化簡(jiǎn)整理即可得到所求；
（3）由題意可得（2n﹣1）（）n≤t2+2t﹣2恒成立．判斷{（2n﹣1）（）n}的單調(diào)性，可得最大值，解不等式即可得到t的范圍。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系才能正確解答此題．