Question

【題目】某工廠生產的產品的直徑均位于區(qū)間內（單位： ).若生產一件產品的直徑位于區(qū)間內該廠可獲利分別為10，30，20，10(單位：元），現從該廠生產的產品中隨機抽取200件測量它們的直徑，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求的值，并估計該廠生產一件產品的平均利潤；

（2）現用分層抽樣法從直徑位于區(qū)間內的產品中隨機抽取一個容量為5的樣本，從樣本中隨機抽取兩件產品進行檢測，求兩件產品中至多有一件產品的直徑位于區(qū)間內的槪率.

Answer 1

【答案】（1）， 元.（2）.

【解析】試題分析：（1）利用頻率分布直方圖中各矩形的面積和為1，可以得到.再計算出各組內直徑的頻數，就能計算出平均利潤.（2）中的問題是一個古典概型，它的基本事件的總數為，而至多有一件產品的直徑位于區(qū)間的事件的總數是7，從而所求概率為.

解析：

（1）由頻率分布直方圖得，所以，直徑位于區(qū)間的頻數為，位于區(qū)間的頻數為，位于區(qū)間的頻數為，位于區(qū)間的頻數為，∴生產一件 產品的平均利潤為（元）.

（2）由頻率分布直方圖得：直徑位于區(qū)間和的頻率之比為，∴應從直徑位于區(qū)間的產品中抽取件產品，記為，從直徑位于區(qū)間的產品中抽取件產品，記為，從中隨機抽取兩件，所有可能的取法有共種，∴兩件產品中至多有一件產品的直徑位于區(qū)間內的取法有種.∴所求概率為.