Question

已知函數(shù)f（x）=x（x-a）²，g（x）=-x²+（a-1）x+a（其中a為常數(shù)）．
（Ⅰ）如果函數(shù)y=f（x）和y=g（x）有相同的極值點，求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（0，+∞），f（x）≥（a²+a+3）x恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）記函數(shù)H（x）=[f（x）-1]•[g（x）-1]，若函數(shù)y=H（x）有5個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知得f′（x）=（3x-a）（x-a），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a=3或a=-1．
（Ⅱ）由已知得x（x-a）²≥（a²+a+3）x在（0，+∞）上恒成立，從而x²-2ax-（a+3）≥0在（0，+∞）上恒成立，由此能求出a的取值范圍．
（Ⅲ）由題意得f（x）-1=0有3個不同的實根，g（x）-1=0有兩個不同的實根，且這兩個實根兩兩不等，由此分類討論，能求出當(dāng)a＞

3 3 2

2

時，函數(shù)y=H（x）有5個不同的零點．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=（3x-a）（x-a），
令f′（x）=0，解得：x=a或x=

a

3

而g（x）在x=

a-1

2

處有極大值，
∴

a-1

2

=a，解得a=-1，或

a-1

2

=

a

3

，解得a=3，
綜上a=3或a=-1．
（Ⅱ）由已知得x（x-a）²≥（a²+a+3）x在（0，+∞）上恒成立，
∴x²-2ax-（a+3）≥0在（0，+∞）上恒成立，
令h（x）=x²-2ax-（a+3），
∵△=4(a+

1

2

)2+11＞0，
∴

a＜0 h(0)≥0

，
解得a≤-3，∴a的取值范圍是（-∞，-3]．
（Ⅲ）由題意得f（x）-1=0有3個不同的實根，
g（x）-1=0有兩個不同的實根，
且這兩個實根兩兩不等，
①g（x）-1=0有2個不同實根，
只需滿足g（

a-1

2

）＞1，解得a＞1或a＜-3．
②f（x）-1=0有3個不同的實根，
（i）當(dāng)

a

3

＞a，即a＜0時，f（x）在（-∞，a）上為增函數(shù)，在（a，

a

3

）上為減函數(shù)，
在（

a

3

，+∞）上為增函數(shù)，在x=a處取得極大值，
而f（a）=0，不合題意，舍；
（ii）當(dāng)

a

3

=a，即a=0時，不合題意，舍；
（iii）當(dāng)

a

3

＜a，即a＞0時，
f（x）在（-∞，

a

3

）上為增函數(shù)，在（

a

3

，a）上為減函數(shù)，
在（a，+∞）上為增函數(shù)，
f（x）在x=

a

3

處取得極大值，f（

a

3

）＞1，解得a＞

3 3 2

2

，∴a＞

3 3 2

2

．
∵①②要同時滿足，故a＞

3 3 2

2

．
下面證明這5個根兩兩不相等，
即證：不存在x₀，使得f（x₀）-1=0和g（x₀）-1=0同時成立．
若存在x₀，使得f（x₀）=g（x₀）=1，
由f（x₀）=g（x₀），即x0(x0-a)2=-x02+(a-1)x0+a，
得(x0-a)(x02-ax0+x0+1)=0，
當(dāng)x₀≠a時，f（x₀）=g（x₀）=0，不符合，舍去；
當(dāng)x₀≠a時，即有x02-ax0+x0+1=0，②
聯(lián)立①②式，得a=0；
而當(dāng)a=0時，H（x）=[f（x）-1]•[g（x）-1]=（x³-1）（-x²-x-1）=0無5個不同的零點，舍．
∴這5個實根兩兩不相等．
綜上所述，當(dāng)a＞

3 3 2

2

時，函數(shù)y=H（x）有5個不同的零點．

點評：本題重點考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題．重點考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力．解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．