Question

已知函數(shù)f（x）=|2x+1|，g（x）=|x-4|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）不等式f（x）-g（x）≥m+1的解集為R，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）不等式f（x）＞2，
即|2x+1|＞2可化為：
2x+1＜-2，或2x+1＞2
解得x＜，或x＞
∴原不等式的解集為（-∞，）∪（，+∞）
（2）∵f（x）-g（x）=|2x+1|-|x-4|=
∵當x∈（-∞，-）時，函數(shù)為減函數(shù)，當x∈（-，+∞）時，函數(shù)為增函數(shù)，
∴當x=-時，函數(shù)f（x）-g（x）取最小值-
若不等式f（x）-g（x）≥m+1的解集為R，
則-≥m+1
即m≤
故實數(shù)m的取值范圍為（-∞，]
分析：（1）根把絕對不等式“大于看兩邊，小于看中間”的解答口決，可將原不等式化為2x+1＜-2，或2x+1＞2，進而得到原不等式的解集；
（2）利用零點分段函數(shù)，得到函數(shù)的解析式，進而根據(jù)函數(shù)的單調性，可得到f（x）-g（x）的最小值，最后得到實數(shù)m的取值范圍．
點評：本題考查的知識點是絕對值不等式的解法，函數(shù)恒成立問題，分段函數(shù)的最值，其中熟練掌握絕對不等式“大于看兩邊，小于看中間”的解答口決，及分段函數(shù)法，是解答絕對值問題的關鍵．