Question

9．在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為3$\sqrt{2}$的正方形，AA₁=3，E是線段A₁B₁上一點(diǎn)，若二面角A-BD-E的正切值為3，則三棱錐A-A₁D₁E外接球的表面積為35π．

Answer 1

分析 如圖所示，求出三棱錐A-A₁D₁E外接球的直徑為$\sqrt{35}$，問題得以解決．

解答 解：過點(diǎn)E作EF∥AA₁交AB于F，過F作FG⊥BD于G，連接EG，
則∠EGF為二面角A-BD-E的平面角，
∵tan∠EGF=3，
∴$\frac{EF}{A{A}_{1}}$=3，
∵EF=AA₁=3，
∴FG=1，
則BF=$\sqrt{2}$=B₁E，
∴A₁E=2$\sqrt{2}$，
則三棱錐A-A₁D₁E外接球的直徑為$\sqrt{8+9+18}$=$\sqrt{35}$，
則其表面積為35π，
故答案為：35π

點(diǎn)評(píng) 本題考查了長(zhǎng)方體和球體的幾何體的性質(zhì)，以及球的表面積公式，關(guān)鍵是求出球的直徑，屬于中檔題．