Question

12．在△ABC中，角A，B，C分別對應邊a，b，c，S為△ABC的面積，已知a=4，b=5，C=2A，則c=6，S=$\frac{15\sqrt{7}}{4}$．

Answer 1

分析 B=π-C-A=π-3A．由正弦定理可得：$\frac{4}{sinA}$=$\frac{5}{sinB}$=$\frac{5}{sin3A}$，sin3A=3sinA-4sin³A．解得sinA=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．A為銳角，由$\frac{4}{sinA}=\frac{c}{sin2A}$，可得c，再利用三角形面積計算公式即可得出．

解答 解：B=π-C-A=π-3A．
由正弦定理可得：$\frac{4}{sinA}$=$\frac{5}{sinB}$=$\frac{5}{sin3A}$，sin3A=3sinA-4sin³A．
∴16sin²A=7，解得sinA=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．A為銳角，
∴$\frac{4}{sinA}=\frac{c}{sin2A}$，可得c=8cosA=8$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=6．
∴S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×5×6×\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\frac{15\sqrt{7}}{4}$．
故答案為：6，$\frac{15\sqrt{7}}{4}$．

點評 本題考查了三角形面積計算公式、正弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．