Question

2．若實數(shù)x，y滿足$\left\{{\begin{array}{l}{x-y-3≤0}\\{3x-y-9≥0}\\{y≤3}\end{array}}\right.$，則$\frac{y+1}{x+1}$的取值范圍是[$\frac{1}{4}$，$\frac{4}{5}$]．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用斜率的幾何意義進行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，
$\frac{y+1}{x+1}$的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到點D（-1，-1）的斜率，
由圖象知BD的斜率最大，AD的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=3}\\{3x-y-9=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$，得B（4，3），
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-9=0}\\{x-y-3=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$，得A（3，0），
則BD的斜率k=$\frac{3+1}{4+1}$=$\frac{4}{5}$，
AD的斜率k=$\frac{0+1}{3+1}$=$\frac{1}{4}$，
則$\frac{1}{4}$≤$\frac{y+1}{x+1}$≤$\frac{4}{5}$，
即$\frac{y+1}{x+1}$的范圍是[$\frac{1}{4}$，$\frac{4}{5}$]，
故答案為：[$\frac{1}{4}$，$\frac{4}{5}$]

點評 本題主要考查線性規(guī)劃以及直線斜率的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．