Question

銷售甲、乙兩種商品所得利潤(rùn)分別為P（萬(wàn)元）和Q（萬(wàn)元），它們與投入資金t（萬(wàn)元）的關(guān)系有公式P=

1

5

t，Q=

4

5

t

，今將10萬(wàn)元資金投入經(jīng)營(yíng)甲、乙兩種商品，其中對(duì)甲種商品投資x萬(wàn)元．
（1）建立總利潤(rùn)y（萬(wàn)元）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求總利潤(rùn)的最大值．

Answer 1

分析：（1）由于對(duì)甲種商品投資x萬(wàn)元，因此獲利P=

1

5

x萬(wàn)元；因?yàn)榭偣餐顿Y10萬(wàn)元，所以對(duì)乙商品投資（10-x）萬(wàn)元，獲利Q=

4

5

10-x

萬(wàn)元．即可得出總利潤(rùn)與投資x的關(guān)系式．
（2）令

10-x

=t，化簡(jiǎn)得y=-

1

5

t2+

4

5

t+2(0≤t≤

10

)，利用二次函數(shù)的單調(diào)性和取得最大值的條件即可得出，從而得出相應(yīng)的x的值．

解答：解：（1）由于對(duì)甲種商品投資x萬(wàn)元，可知對(duì)乙商品投資（10-x）萬(wàn)元．根據(jù)相應(yīng)利潤(rùn)與投資的關(guān)系可得
y=

1

5

x+

4

5

10-x

(0≤x≤10)，
（2）令

10-x

=t，化簡(jiǎn)得y=-

1

5

t2+

4

5

t+2(0≤t≤

10

)，
當(dāng)t=-

4 5

2×(- 1 5 )

=2時(shí)，即

10-x

=2，解得x=6時(shí)，y取得最大值

14

5

．
答：總利潤(rùn)的最大值為

14

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、換元法、投資與獲得利潤(rùn)之間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．