Question

17．閱讀下列有關(guān)光線的入射與反射的兩個(gè)事實(shí)現(xiàn)象，現(xiàn)象（1）：光線經(jīng)平面鏡反射滿足入射角i與反射角r相等（如圖19-1）；現(xiàn)象（2）：光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)經(jīng)橢圓反射后通過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)（如圖19-2）．試結(jié)合上述事實(shí)現(xiàn)象完成下列問(wèn)題：
（1）有一橢圓型臺(tái)球桌2a，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)為2b．將一放置于焦點(diǎn)處的桌球擊出，經(jīng)過(guò)球桌邊緣的反射（假設(shè)球的反射完全符合現(xiàn)象（2））后第一次返回到該焦點(diǎn)時(shí)所經(jīng)過(guò)的路程記為S，求S的值（用a，b表示）；
（2）結(jié)論：橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1上任一點(diǎn)P（x₀，y₀）處的切線l的方程為$\frac{{{x_0}x}}{a^2}$+$\frac{{{y_0}y}}{b^2}$=1．記橢圓C的方程為C：$\frac{x^2}{4}$+y²=1．
①過(guò)橢圓C的右準(zhǔn)線上任一點(diǎn)M向橢圓C引切線，切點(diǎn)分別為A，B，求證：直線l_AB恒過(guò)一定點(diǎn)；
②設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀）為橢圓C上位于第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓C的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)I為△PF₁F₂的內(nèi)心，直線PI與x軸相交于點(diǎn)N，求點(diǎn)N橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)樽狼虻谝淮闻c球桌邊緣的接觸點(diǎn)可能橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)及這兩個(gè)端點(diǎn)外的任一點(diǎn)三種情況，分別表示出S=2（a-c）或S=2（a+c）或S=4a；
（2）求得M點(diǎn)坐標(biāo)，求得直線MA和MB的方程，將M點(diǎn)坐標(biāo)代入，即可求得直線AB方程$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+ty-1，直線AB恒過(guò)定點(diǎn)$F（{\sqrt{3}，0}）$；求得橢圓的切線方程，由直線PI⊥l，${l_{PI}}：y=\frac{{4{y_0}}}{x_0}x-3{y_0}$，y=0，得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為${x_N}=\frac{{3{x_0}}}{4}$，根據(jù)x₀的取值范圍，即可求得點(diǎn)N橫坐標(biāo)的取值范圍．

解答 解：（1）記$c=\sqrt{{a^2}-{b^2}}$，
因?yàn)樽狼虻谝淮闻c球桌邊緣的接觸點(diǎn)可能橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)及這兩個(gè)端點(diǎn)外的任一點(diǎn)三種情況，
所以S=2（a-c）或S=2（a+c）或S=4a；[（4分）]
（2）①設(shè)$M（{\frac{{4\sqrt{3}}}{3}，t}）（{t∈R}），A（{{x_1}，{y_1}}），B（{{x_2}，{y_2}}）$，則…[（5分）]，
${l_{MA}}：\frac{{{x_1}x}}{4}+{y_1}y=1，{l_{MB}}：\frac{{{x_2}x}}{4}+{y_2}y=1$，…[（6分）]
代入$M（{\frac{{4\sqrt{3}}}{3}，t}）$，得${l_{MA}}：\frac{{\sqrt{3}}}{3}{x_1}+t{y_1}=1，{l_{MB}}：\frac{{\sqrt{3}}}{3}{x_2}+t{y_2}=1$，…[（7分）]
則點(diǎn)A，B的坐標(biāo)均滿足方程$\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+ty=1，即{l_{AB}}：\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+ty-1=0$，…[（9分）]
所以，直線AB恒過(guò)定點(diǎn)$F（{\sqrt{3}，0}）$；…[（10分）]
②由（2）的結(jié)論知：橢圓C在P（x₀，y₀）處的切線l的方程為$\frac{{{x_0}x}}{4}+{y_0}y=1$，…[（11分）]
由事實(shí)現(xiàn)象（2）知：直線PI⊥l，
∴${l_{PI}}：y=\frac{{4{y_0}}}{x_0}x-3{y_0}$…[（13分）]
令y=0，得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為${x_N}=\frac{{3{x_0}}}{4}$，…[（15分）]
∵x₀∈（0，2），
∴${x_N}∈（{0，\frac{3}{2}}）$．…[（16分）]

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的實(shí)際應(yīng)用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，直線的切線方程，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．