Question

5．（Ⅰ）已知橢圓的長軸是短軸的3倍，且過點(diǎn)A（3，0），并且以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，拋物線上一點(diǎn)P（-3，a）到焦點(diǎn)的距離為5，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分焦點(diǎn)在x軸與焦點(diǎn)在y軸討論，結(jié)合題意即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）先確定拋物線的焦點(diǎn)一定在x軸負(fù)半軸上，故可設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再由拋物線的定義，點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，即可求得拋物線方程．

解答 解：（Ⅰ）若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，
設(shè)方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$．
由題意$\left\{\begin{array}{l}2a=3×2b\\ \frac{9}{a^2}+\frac{0}{b^2}=1\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=1\end{array}\right.$
∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$；
若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，
設(shè)方程為$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
由題意$\left\{\begin{array}{l}2a=3×2b\\ \frac{0}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}a=9\\ b=3\end{array}\right.$
∴橢圓方程為$\frac{y^2}{81}+\frac{x^2}{9}=1$．
故橢圓方程為$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$，或$\frac{y^2}{81}+\frac{x^2}{9}=1$．
（Ⅱ）由已知設(shè)所求拋物線的方程為y²=-2px（p＞0），
則準(zhǔn)線方程為$x=\frac{p}{2}$．
由定義知$\frac{p}{2}+3=5$，得p=4，
故所求方程為y²=-8x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查分類討論思想與方程思想，考查拋物線的定義，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法，利用定義將到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離是解決本題的關(guān)鍵．