Question

1．已知點P（x，y）的坐標(biāo)滿足$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{y＞x}\\{y＜2x+1}\end{array}\right.$，則$\frac{x+y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$的取值范圍為（-$\sqrt{2}$，1]．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，設(shè)A（1，1），P（x，y）為可行域內(nèi)的一動點，向量$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OP}$的夾角為θ，可得cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}•$$\frac{x+y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$，再由θ的范圍求得cosθ的范圍，則答案可求．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{y＞x}\\{y＜2x+1}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

設(shè)A（1，1），P（x，y）為可行域內(nèi)的一動點，
向量$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OP}$的夾角為θ，
∵|$\overrightarrow{OP}$|=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}$，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}=x+y$，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OP}|}$=$\frac{x+y}{\sqrt{2}•\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}•\frac{x+y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$．
∵當(dāng)P運動到B時，θ有最小值$\frac{π}{4}$，當(dāng)P運動到C時，θ有最大值π，
∴-1＜cosθ≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即-1＜$\frac{\sqrt{2}}{2}•\frac{x+y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則$-\sqrt{2}$＜$\frac{x+y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$≤1．
∴$\frac{x+y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$的取值范圍為（-$\sqrt{2}$，1]．
故答案為：（-$\sqrt{2}$，1]．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．