Question

14．在下列結(jié)論中，錯用均值不等式作依據(jù)的是（　�。�

• A． x，y，z∈R⁺，則$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{z}$+$\frac{z}{x}$≥3
• B． $\frac{{x}^{2}+2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$≥2
• C． 若a，b∈R，則$\frac{a}$+$\frac{a}$≥2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$=2
• D． a∈R⁺，（1+a）（1+$\frac{1}{a}$）≥4

Answer 1

分析 直接利用基本不等式成立的條件，判斷選項即可．

解答 解：x，y，z∈R⁺，則$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{z}$+$\frac{z}{x}$≥3•$\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{y}{z}•\frac{z}{x}}$=3，當且僅當x=y=z時取等號，正確．
$\frac{{x}^{2}+2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$=$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$≥2，當且僅當x=0時，表達式取得最小值．正確；
若a，b∈R，則$\frac{a}$+$\frac{a}$≥2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$=2，顯然不成立，如果a•b＜0，不能利用基本不等式求解最小值，所以選項C錯誤．
a∈R⁺，（1+a）（1+$\frac{1}{a}$）=2+a+$\frac{1}{a}$≥2+2=4，當且僅當a=1時，取等號，所以D正確．
故選：C．

點評 本題考查基本不等式成立的條件的應用，是基礎題．