16.已知F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),P(x,y)是該拋物線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),當(dāng)$\frac{|PF|}{|PA|}$最小時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,±2).

分析 過(guò)點(diǎn)P作PM垂直于準(zhǔn)線,M為垂足,則由拋物線的定義可得|PF|=|PM|,則$\frac{|PF|}{|PA|}$=$\frac{|PM|}{|PA|}$=sin∠PAM,故當(dāng)PA和拋物線相切時(shí),則$\frac{|PF|}{|PA|}$最小.再利用直線的斜率公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點(diǎn)的坐標(biāo),從而求得$\frac{|PF|}{|PA|}$的最小值及P的坐標(biāo).

解答 解:由題意可得,焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1.
過(guò)點(diǎn)P作PM垂直于準(zhǔn)線,M為垂足,
由拋物線的定義可得|PF|=|PM|,
則$\frac{|PF|}{|PA|}$=$\frac{|PM|}{|PA|}$=sin∠PAM,∠PAM為銳角.
故當(dāng)∠PAM最小時(shí),則$\frac{|PF|}{|PA|}$最小,
故當(dāng)PA和拋物線相切時(shí),$\frac{|PF|}{|PA|}$最。
可設(shè)切點(diǎn)P(a,2$\sqrt{a}$),
則PA的斜率為k=$\frac{2\sqrt{a}-0}{a+1}$,
而函數(shù)y=2$\sqrt{x}$的導(dǎo)數(shù)為y′=(2$\sqrt{x}$)′=$\frac{1}{\sqrt{x}}$,
即為$\frac{2\sqrt{a}-0}{a+1}$=$\frac{1}{\sqrt{a}}$,
求得a=1,可得P(1,2),
則|PM|=2,|PA|=2$\sqrt{2}$,
即有sin∠PAM=$\frac{|PM|}{|PA|}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
由拋物線的對(duì)稱性可得P為(1,-2)時(shí),同樣取得最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
故答案為:(1,±2).

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的定義、性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用,直線的斜率公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.

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(2)若取1個(gè)紅球記2分,取1個(gè)白球記1分,取1個(gè)黑球記0分,求連續(xù)取兩次的分?jǐn)?shù)之和為2的概率.

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