分析 過(guò)點(diǎn)P作PM垂直于準(zhǔn)線,M為垂足,則由拋物線的定義可得|PF|=|PM|,則|PF||PA|=|PM||PA|=sin∠PAM,故當(dāng)PA和拋物線相切時(shí),則|PF||PA|最小.再利用直線的斜率公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點(diǎn)的坐標(biāo),從而求得|PF||PA|的最小值及P的坐標(biāo).
解答 解:由題意可得,焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1.
過(guò)點(diǎn)P作PM垂直于準(zhǔn)線,M為垂足,
由拋物線的定義可得|PF|=|PM|,
則|PF||PA|=|PM||PA|=sin∠PAM,∠PAM為銳角.
故當(dāng)∠PAM最小時(shí),則|PF||PA|最小,
故當(dāng)PA和拋物線相切時(shí),|PF||PA|最�。�
可設(shè)切點(diǎn)P(a,2√a),
則PA的斜率為k=2√a−0a+1,
而函數(shù)y=2√x的導(dǎo)數(shù)為y′=(2√x)′=1√x,
即為2√a−0a+1=1√a,
求得a=1,可得P(1,2),
則|PM|=2,|PA|=2√2,
即有sin∠PAM=|PM||PA|=22√2=√22,
由拋物線的對(duì)稱性可得P為(1,-2)時(shí),同樣取得最小值√22.
故答案為:(1,±2).
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的定義、性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用,直線的斜率公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.
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A. | √2f(π3)<√2f(π4)<√3f(π4)<√3f(π3) | B. | √2f(π4)<√2f(π3)<√3f(π3)<√3f(π4) | ||
C. | √2f(π4)<√2f(π3)<√3f(π4)<√3f(π3) | D. | √2f(π4)<√3f(π4)<√2f(π3)<√3f(π3) |
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A. | ±√22 | B. | ±√32 | C. | ±1 | D. | ±√2 |
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