分析 利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,將$\sqrt{1-sin2x}$轉(zhuǎn)化成丨sinx-cosx丨,根據(jù)三角函數(shù)圖象,去掉絕對值,將定積分化簡${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$(cosx-sinx)+${∫}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}$(sinx-cosx)dx,即可求得${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$$\sqrt{1-sin2x}$dx的值.
解答 解:${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$$\sqrt{1-sin2x}$dx=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$$\sqrt{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x-2sinxcosx}$dx=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$丨sinx-cosx丨dx
=${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$(cosx-sinx)+${∫}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}$(sinx-cosx)dx
=(sinx+cosx)${丨}_{0}^{\frac{π}{4}}$+(-cosx-sinx)${丨}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}$
=2$\sqrt{2}$-2,
∴${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$$\sqrt{1-sin2x}$dx=2$\sqrt{2}$-2.
點(diǎn)評 本題考查二倍角公式、三角函數(shù)圖象與性質(zhì)與定積分的綜合運(yùn)用,要求學(xué)生掌握含有絕對值的定積分的求法,屬于中檔題.
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