Question

18．如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，E，F(xiàn)分別為線段DD₁，BD的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面ABC₁D₁；
（2）四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球的表面積為16π，求證：EF⊥平面EA₁C₁．

Answer 1

分析 （1）連接BD₁，由EF為中位線，得EF∥D₁B，由此能證明EF∥平面ABC₁D₁．
（2）推導(dǎo)出四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球的半徑R=2，求出AA₁=2$\sqrt{2}$，推導(dǎo)出EF⊥A₁E，A₁C₁⊥EF，由此能證明EF⊥平面EA₁C₁．

解答 證明：（1）連接BD₁，在△DD₁B中，E，F(xiàn)分別為線段DD₁，BD的中點(diǎn)，
∴EF為中位線，
∴EF∥D₁B，而D₁B?面ABC₁D₁，EF?面ABC₁D₁，
∴EF∥平面ABC₁D₁．
（2）∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球的表面積為16π，
∴四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球的半徑R=2，
設(shè)AA₁=a，則$\frac{1}{2}\sqrt{{a}^{2}+4+4}$=2，解得a=2$\sqrt{2}$，
∵AB=2，∴EF²=4，${A}_{1}{E}^{2}$=6，${A}_{1}{F}^{2}$=10，
∴$E{F}^{2}+{A}_{1}{E}^{2}$=${A}_{1}{F}^{2}$，即EF⊥A₁E，
∵A₁C₁⊥平面₁D₁D，∴A₁C₁⊥EF，
又A₁C₁∩A₁E=A₁，∴EF⊥平面EA₁C₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、線面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．