Question

19．已知動點(diǎn)M到定點(diǎn)F（1，0）的距離與點(diǎn)M到定直線m：x=2的距離之比為$\frac{\sqrt{2}}{2}$
（1）求動點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）設(shè)過定點(diǎn)A（0，2）的動直線l（斜率存在）與C相交于P，Q兩點(diǎn)，以線段PQ為直徑的圓，若定點(diǎn)F在此圓內(nèi)，求出滿足條件的直線l的斜率范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)M（x，y），由題意可得：$\frac{\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}}{|x-2|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，化簡即可得出．
（2）設(shè)L：y=kx+2，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（2k²+1）x²+8kx+6=0，△＞0，由題意可得：$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$＜0，化為：（1+k²）x₁•x₂+（2k-1）（x₁+x₂）+5＜0，解出即可得出．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），由題意可得：$\frac{\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}}{|x-2|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，化為：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（2）設(shè)L：y=kx+2，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為：（2k²+1）x²+8kx+6=0，
當(dāng)△＞0時(shí)，化為${k}^{2}＞\frac{3}{2}$，解得$k＞\frac{\sqrt{6}}{2}$或k$＜-\frac{\sqrt{6}}{2}$．①
∴x₁+x₂=$\frac{-8k}{2{k}^{2}+1}$，x₁•x₂=$\frac{6}{2{k}^{2}+1}$，（*）
由題意可得：$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$＜0，
∴（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂＜0，
化為：（1+k²）x₁•x₂+（2k-1）（x₁+x₂）+5＜0，把（*）代入上式，解得$k＜-\frac{11}{8}$，②
由①②可得：$k＜-\frac{11}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．