【題目】已知平面內(nèi)動點到兩定點和的距離之和為4.

（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；

（Ⅱ）已知直線和的傾斜角均為，直線過坐標原點且與曲線相交于， 兩點，直線過點且與曲線是交于， 兩點，求證：對任意， .

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）由橢圓定義可得動點的軌跡E是以定點和為焦點的橢圓，且，從而得方程；

（Ⅱ）由題設可設直線的參數(shù)方程分別為； ，將直線的參數(shù)方程分別和橢圓聯(lián)立后整理得： ； ，由和，從而由韋達定理求解即可.

試題解析：

（Ⅰ）解： 則根據(jù)橢圓的定義得：動點的軌跡E是以定點和為焦點的橢圓，且，

，

可得動點M的軌跡的方程為．

（Ⅱ）證明：由題設可設直線的參數(shù)方程分別為

； ．

將直線的參數(shù)方程分別和橢圓聯(lián)立后整理得：

； ．

則由參數(shù)t的幾何意義、根與系數(shù)的關(guān)系及橢圓的對稱性有：

；

，

故．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在△ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，則AB2＝BD·BC；類似地有命題：在三棱錐A－BCD中，AD⊥平面ABC，若A點在平面BCD內(nèi)的射影為M，則有S＝S△BCM·S△BCD.上述命題是 (　　)

A. 真命題

B. 增加條件“AB⊥AC”才是真命題

C. 增加條件“M為△BCD的垂心”才是真命題

D. 增加條件“三棱錐A－BCD是正三棱錐”才是真命題

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知分別是雙曲線的左、右焦點，過點作垂直與軸的直線交雙曲線于，兩點，若為銳角三角形，則雙曲線的離心率的取值范圍是_______．

【答案】

【解析】

根據(jù)雙曲線的通徑求得點的坐標，將三角形為銳角三角形，轉(zhuǎn)化為，即，將表達式轉(zhuǎn)化為含有離心率的不等式，解不等式求得離心率的取值范圍.

根據(jù)雙曲線的通徑可知，由于三角形為銳角三角形，結(jié)合雙曲線的對稱性可知，故，即，即，解得，故離心率的取值范圍是.

【點睛】

本小題主要考查雙曲線的離心率的取值范圍的求法，考查雙曲線的通徑，考查雙曲線的對稱性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.本小題的主要突破口在將三角形為銳角三角形，轉(zhuǎn)化為，利用列不等式，再將不等式轉(zhuǎn)化為只含離心率的表達式，解不等式求得雙曲線離心率的取值范圍.

【題型】填空題
【結(jié)束】
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【題目】已知命題：方程有兩個不相等的實數(shù)根；命題：不等式的解集為.若或為真，為假，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，正四棱錐中，為底面正方形的中心，側(cè)棱與底面所成的角的正切值為．

（1）求側(cè)面與底面所成的二面角的大小；

（2）若是的中點，求異面直線與所成角的正切值；

（3）問在棱上是否存在一點，使⊥側(cè)面，若存在，試確定點的位置；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]

在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以直角坐標系的原點為極點， 軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程為.

（Ⅰ）求曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；

（Ⅱ）若直線與曲線相交于， 兩點，求的面積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】探究與發(fā)現(xiàn)：為什么二次函數(shù)的圖象是拋物線？我們知道，平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l距離相等的點的軌跡是拋物線，這是拋物線的定義，也是其本質(zhì)特征因此，只要說明二次函數(shù)的圖象符合拋物線的本質(zhì)特征，就解決了為什么二次函數(shù)的圖象是拋物線的問題進一步講，由拋物線與其方程之間的關(guān)系可知，如果能用適當?shù)姆绞綄?/span>轉(zhuǎn)化為拋物線標準方程的形式，那么就可以判定二次函數(shù)的圖象是拋物線了．下面我們就按照這個思路來展開．對二次函數(shù)式的右邊配方，得．由函數(shù)圖象平移一般地，設是坐標平面內(nèi)的一個圖形，將上所有點按照同一方向，移動同樣的長度，得到圖形，這一過程叫作圖形的平移的知識可以知道，沿向量平移函數(shù)的圖象如圖，函數(shù)圖象的形狀、大小不發(fā)生任何變化，平移后圖象對應的函數(shù)解析式為，我們把它改寫為的形式方程，這是頂點為坐標原點，焦點為的拋物線．這樣就說明了二次函數(shù)的圖象是一條拋物線．

請根據(jù)以上閱讀材料，回答下列問題：

由函數(shù)的圖象沿向量平移，得到的圖象對應的函數(shù)解析式為，求的坐標；

過拋物線的焦點F的一條直線交拋物線于P、Q兩點若線段PF與QF的長分別是p、q，試探究是否為定值？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】從某市主辦的科技知識競賽的學生成績中隨機選取了40名學生的成績作為樣本，已知這些成績?nèi)吭?0分至100分之間，現(xiàn)將成績按如下方式分成6組：第一組；第二組；；第六組，并據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．

求成績在區(qū)間內(nèi)的學生人數(shù)；

估計這40名學生成績的眾數(shù)和中位數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設，曲線在點處的切線與直線垂直．

（1）求的值；

（2）若對于任意的恒成立，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設數(shù)列{}是等差數(shù)列，數(shù)列{}的前項和滿足,,且

（1）求數(shù)列{}和{}的通項公式：

（2）設為數(shù)列{．}的前項和，求．

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