Question

20．整數(shù)p＞1．證明：當(dāng)x＞-1且x≠0時，（1+x）^p＞1+px．

Answer 1

分析 方法一：用數(shù)學(xué)歸納法證明．
方法二：可構(gòu)造函數(shù)f（x）=（1+x）^p-（1+px），求導(dǎo)數(shù)后利用函數(shù)的單調(diào)性求解；

解答 證明：方法一：用數(shù)學(xué)歸納法證明
①當(dāng)p=2時，（1+x）²=1+2x+x²＞1+2x，原不等式（1+x）^p＞1+px成立，
②假設(shè)當(dāng)p=k（k≥2，k∈N^*）不等式成立，
則當(dāng)p=k+1是，（1+x）^k+1=（1+x）（1+x）^k＞（1+x）（1+kx）=1+（k+1）x+kx²
＞1+（k+1）x
所以p=k+1時，原不等式也成立，
綜合  ①②可得，當(dāng)x＞-1且x≠0時對一切整數(shù)p＞1，不等式（1+x）^p＞1+px均成立，
方法二：令f（x）=（1+x）^p-（1+px），則f′（x）=p（1+x）^p-1-p=p[（1+x）^p-1-1]．
①當(dāng)-1＜x＜0時，0＜1+x＜1，由p＞1知p-1＞0，∴（1+x）^p-1＜（1+x）⁰=1，
∴（1+x）^p-1-1＜0，即f′（x）＜0，
∴f（x）在（-1，0]上為減函數(shù)，
∴f（x）＞f（0）=（1+0）^p-（1+p×0）=0，即（1+x）^p-（1+px）＞0，
∴（1+x）^p＞1+px．
②當(dāng)x＞0時，有1+x＞1，得（1+x）^p-1＞（1+x）⁰=1，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x）＞f（0）=0，
∴（1+x）^p＞1+px．
綜合①、②知，當(dāng)x＞-1且x≠0時，都有（1+x）^p＞1+px，得證．

點評 本題考查了不等式的證明，長采用數(shù)學(xué)歸納法和構(gòu)造函數(shù)法，屬于中檔題．