Question

15．已知f（x）=ax²-（a+2）x+ln x．
（1）a=1時(shí)，求y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程．
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，若f（x）在區(qū)間[1，e]上最小值為-2，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線方程，
（2）先求導(dǎo)，再分類討論，判斷在[1，e]上的單調(diào)性，根據(jù)f（x）在區(qū)間[1，e]上最小值為-2，即可求出a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²-3x+ln x，
f′（x）=2x-3+$\frac{1}{x}$．
因?yàn)閒′（1）=0，f（1）=-2，
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，-2）處的切線方程是y=-2．
（2）函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+ln x的定義域是（0，+∞）．
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=2ax-（a+2）+$\frac{1}{x}$
=$\frac{2ax{\;}^{2}-（a+2）x+1}{x}$，
令f′（x）=$\frac{2ax{\;}^{2}-（a+2）x+1}{x}$
=$\frac{（2x-1）（ax-1）}{x}$=0，所以x=$\frac{1}{2}$或x=$\frac{1}{a}$．
當(dāng)0＜$\frac{1}{a}$≤1，即a≥1時(shí)，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=-2；
當(dāng)1＜$\frac{1}{a}$＜e時(shí)，f（x）在[1，e]上的最小值f （$\frac{1}{a}$）＜f（1）=-2，不合題意；
當(dāng)$\frac{1}{a}$≥e時(shí)，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，此時(shí)f（x）在[1，e]上的最小值f（e）＜f（1）=-2，不合題意．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）．  x²

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系，以及分類討論的思想，屬于中檔題．