Question

11．已知實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x+2y-5≥0\\ x-3y+5≥0\\ kx-y-3k≤0\end{array}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z₁=3x+y的最小值的7倍與z₂=x+7y的最大值相等，則實(shí)數(shù)k的值為（　�。�

• A． 1
• B． -1
• C． -2
• D． 2

Answer 1

分析 作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，通過(guò)平移分別求出z₁的最小值和z₂的最大值，建立方程關(guān)系即可求k的值．

解答 解：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖，由圖象知k＞0
由z₁=3x+y，得y=-3x+z₁，
平移直線y=-3x+z₁，由圖象可知當(dāng)直線y=-3x+z₁，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，直線y=-3x+z₁的截距最小，
此時(shí)z₁最�。�由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-5=0}\\{x-3y+5=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即C（1，2），
此時(shí)z₁的最小值為z=3×1+2=5，
由z₂=x+7y得y=-$\frac{1}{7}$x+$\frac{1}{7}$z₂，
平移y=-$\frac{1}{7}$x+$\frac{1}{7}$z₂，
由圖象得當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，進(jìn)行y=-$\frac{1}{7}$x+$\frac{1}{7}$z₂的截距最大，
此時(shí)z₂最大，由$\left\{\begin{array}{l}{x-3y+5=0}\\{kx-y-3k=0}\end{array}\right.$，得x=$\frac{9k+5}{3k-1}$，y=$\frac{8k}{3k-1}$，即B（$\frac{9k+5}{3k-1}$，$\frac{8k}{3k-1}$），
此時(shí)z₂=$\frac{9k+5}{3k-1}$+7×$\frac{8k}{3k-1}$=$\frac{65k+5}{3k-1}$，
∵目標(biāo)函數(shù)z₁=3x+y的最小值的7倍與z₂=x+7y的最大值相等，
∴$\frac{65k+5}{3k-1}$=7×5，得k=1，
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用圖象平行求得目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問(wèn)題中的基本方法．