Question

15．（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）⁶的二項(xiàng)展開式中不含x項(xiàng)的所有項(xiàng)系數(shù)和為$\frac{489}{64}$．

Answer 1

分析 先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)等于0，求得r的值，即可求得展開式中不含x項(xiàng)的所有項(xiàng)系數(shù)和．

解答 解：（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）⁶的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{6}^{r}$•${（\frac{1}{2}）}^{r}$•x^3-r，令3-r=1，
可得r=2，故含x項(xiàng)的項(xiàng)系數(shù)為 ${C}_{6}^{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{2}$•x=$\frac{15}{4}$x，
而令x=1，可得所有項(xiàng)的系數(shù)和為${（1+\frac{1}{2}）}^{6}$=$\frac{729}{64}$，故不含x項(xiàng)的所有項(xiàng)系數(shù)和為 $\frac{729}{64}$-$\frac{15}{4}$=$\frac{489}{64}$，
故答案為：$\frac{489}{64}$．

點(diǎn)評 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．