Question

8．已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，對(duì)稱軸為x軸，焦點(diǎn)為F，拋物線上一點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，且$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{OA}$=10．
（1）求此拋物線C的方程．
（2）過點(diǎn)（4，0）作直線l交拋物線C于M、N兩點(diǎn)，求證：OM⊥ON．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)，求得$\overrightarrow{FM}$，由$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{OA}$=10，代入即可求得p的值，求得拋物線C的方程；
（2）（Ⅱ）討論當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，求出A，B坐標(biāo)，可得OA⊥OB；當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=k（x-4），聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合向量垂直的條件，化簡(jiǎn)整理即可得證．

解答 解：（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線C的方程為y²=2px（p＞0），
由拋物線上一點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，設(shè)A（2，y₀），
∴y₀²=4p，…（1分）
由F（$\frac{p}{2}$，0），則$\overrightarrow{FM}$=（2-$\frac{p}{2}$，y₀），
∴$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{OA}$=4-p+y₀²=4+3p=10，…（3分）
解得：p=2，
所以拋物線C的方程為：y²=4x；      …（5分）
（2）證明：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，此時(shí)l的方程是：x=4，則M（4，4），N（4，-4）
因此$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，
∴OM⊥ON；…（7分）
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程是y=k（x-4），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
因此$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-4）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得k²x²-（8k²+4）x+16k²=0，
則x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=16
$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂-4k²（x₁+x₂）+16k²，
=16（1+k²）-32k²-16+16k²=0，
∴$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{ON}$，
綜上，OM⊥ON成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查拋物線的方程的運(yùn)用，以及直線和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，和向量垂直的條件，屬于中檔題．