Question

如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E，F(xiàn)分別在線段BC和AD上，EF//AB，將矩形ABEF沿EF折起．記折起后的矩形為MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．

（1）求證：NC∥平面MFD；
（2）若EC=3，求證：ND⊥FC;
（3）求四面體NFEC體積的最大值．

Answer 1

（1）證明：由四邊形MNEF，EFDC都是矩形，得到MN∥EF∥CD，MN=EF=CD．
推出四邊形MNCD是平行四邊形，從而NC∥平面MFD．
（2）證明：連接ED，設(shè)ED∩FC=O．推出FC⊥NE．又EC=CD，所以四邊形ECDF為正方形，結(jié)合 FC⊥ED．推出FC⊥平面NED，所以ND⊥FC．（3）x=2時(shí)，四面體NFEC的體積有最大值2．

試題分析：（1）證明：因?yàn)樗倪呅蜯NEF，EFDC都是矩形，所以MN∥EF∥CD，MN=EF=CD．
所以四邊形MNCD是平行四邊形，所以NC∥MD，因?yàn)镹C?平面MFD，所以NC∥平面MFD．                 4分
（2）證明：連接ED，設(shè)ED∩FC=O．因?yàn)槠矫鍹NEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，所以NE⊥平面ECDF，                              5分
所以FC⊥NE．又EC=CD，所以四邊形ECDF為正方形，所以 FC⊥ED．所以FC⊥平面NED，
所以ND⊥FC．                              8分
（3）解：設(shè)NE=，則EC=4-，其中0＜x＜4．由（1）得NE⊥平面FEC，所以四面體NFEC的體積為，所以.
當(dāng)且僅當(dāng)，即x=2時(shí)，四面體NFEC的體積有最大值2．
點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問(wèn)題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，（1）（2）小題，將立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面問(wèn)題，這也是解決立體幾何問(wèn)題的一個(gè)基本思路。（3）利用函數(shù)思想，構(gòu)建體積函數(shù)表達(dá)式，應(yīng)用均值定理，求得體積的最大值。