Question

1．已知不等式xy≤ax²+2y²，若對(duì)任意x∈（1，2），且y∈[2，3]，該不等式恒成立，其實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由已知不等式分離參數(shù)a，得到a≥$-2（\frac{y}{x}-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{1}{8}$，在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜2}\\{2≤y≤3}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域，求出$\frac{y}{x}$的取值范圍，則答案可求．

解答 解：依題意得，當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，且y∈[2，3]時(shí)，不等式xy≤ax²+2y²，
即$a≥\frac{{xy-2{y^2}}}{x^2}=\frac{y}{x}-2•{（{\frac{y}{x}}）^2}=-2{（{\frac{y}{x}-\frac{1}{4}}）^2}+\frac{1}{8}$．
在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜2}\\{2≤y≤3}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域，
注意到$\frac{y}{x}$可視為該區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)連線的斜率，結(jié)合圖形可知，$\frac{y}{x}$的取值范圍是（1，3），
此時(shí)$-2{（{\frac{y}{x}-\frac{1}{4}}）^2}+\frac{1}{8}$＜-1，
因此滿足題意的實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．