Question

若lnx≥

(a-1)x2+a-3

x2+1

在x∈[1，+∞）上恒成立，則a的取值范圍是

（-∞，

5

2

]

．

Answer 1

分析：把lnx≥

(a-1)x2+a-3

x2+1

等價(jià)轉(zhuǎn)化為lnx≥a-1-

1

x2+1

，得到lnx+

1

x2+1

≥a-1，從而原題等價(jià)轉(zhuǎn)化為y=x+

1

x2+1

在x∈[1，+∞）上的最小值不小于a-1，由此利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)能夠求出a的取值范圍．

解答：解：∵lnx≥

(a-1)x2+a-3

x2+1

=a-1-

1

x2+1

，
∴l(xiāng)nx+

1

x2+1

≥a-1，
∵lnx≥

(a-1)x2+a-3

x2+1

在x∈[1，+∞）上恒成立，
∴y=x+

1

x2+1

在x∈[1，+∞）上的最小值不小于a-1，
∵y′=

1

x

-

4x

(x2+1)2

，
令y′=

1

x

-

4x

(x2+1)2

=0，得x=1，或x=-1（舍），
∴x∈[1，+∞）時(shí)，y′=

1

x

-

4x

(x2+1)2

＞0，
∴y=x+

1

x2+1

在x∈[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y=x+

1

x2+1

在x∈[1，+∞）上取最小值1+

1

12+1

=

3

2

，
故

3

2

≥a-1，
所以a≤

5

2

．
故答案為：（-∞，

5

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，具體涉及到分離變量法、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用，解題時(shí)要關(guān)鍵是lnx≥

(a-1)x2+a-3

x2+1

在x∈[1，+∞）上恒成立等價(jià)轉(zhuǎn)化為y=x+

1

x2+1

在x∈[1，+∞）上的最小值不小于a-1．