Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+2x+c，（a，c∈N^*）滿足①f（1）=5；②6＜f（2）＜11．
（1）求函數(shù)f（x）的解析表達式；
（2）若對任意x∈[1，2]，都有f（x）-2mx≥1成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）f（1）=5可得c=3-a．①，由6＜f（2）＜11，得6＜4a+c+4＜11，②聯(lián)立①②可求得a，c，進而可得函數(shù)f（x）的解析表達式；
（2）法一：設(shè)g（x）=f（x）-2mx-1=x²-2（m-1）x+1，x∈[1，2]，則由已知得：當m-1≤1即m≤2時，g_min（x）=g（1）=4-2m≥0，解得m的取值范圍．
（2）法二：不等式f（x）-2mx≥1恒成立等價于2m-2≤x+

1

x

在[1，2]上恒成立．只需求出（x+

1

x

）_min．

解答： 解：（1）∵f（1）=5
∴5=a+c+2，即c=3-a，
又∵6＜f（2）＜11
∴6＜4a+c+4＜11，
∴∴-

1

3

＜a＜

4

3

，
又∵a∈N^*，
∴a=1，c=2．
所以f（x）=x²+2x+2．
（2）法一：設(shè)g（x）=f（x）-2mx-1=x²-2（m-1）x+1，x∈[1，2]，則由已知得：
當m-1≤1即m≤2時，g_min（x）=g（1）=4-2m≥0，此時m≤2；
當1＜m-1＜2即2＜m＜3時，△≤0，解得：無解；
當m-1≥2即m≥3時，g_min（x）=g（2）=9-4m≥0，此時無解．
綜上所述，m的取值范圍為（-∞，2]．
法二：由已知得，2(m-1)≤x+

1

x

在x∈[1，2]上恒成立．
由于x+

1

x

在[1，2]上單調(diào)遞增，
所以x+

1

x

∈[2，

5

2

]，
故2（m-1）≤2，
即m≤2．

點評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次不等式恒成立，考查轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．