當0≤a<
1
2
時,討論函數(shù)f(x)=lnx-ax+
1-a
x
-1
(a∈R)的單調性.
分析:利用導數(shù)的運算法則得出f′(x),分a=0,0<a<
1
2
討論起單調性.當a=0時,容易得出單調性;當0<a<
1
2
時,分別解出f′(x)>0與f′(x)<0的區(qū)間即可得出單調區(qū)間.
解答:解:f(x)=
1
x
-a-
1-a
x2
=-
ax2-x+1-a
x2
=-
[ax+(a-1)](x-1)
x2
(x>0),
令g(x)=ax2-x+1-a,
①當a=0時,g(x)=-x+1,當x∈(0,1)時,g(x)>0,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調遞減;
當x∈(1,+∞)時,g(x)<0,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調遞增.
②當0<a<
1
2
時,
由f′(x)=0,x1=1,x2=
1
a
-1
.此時
1
a
-1>1>0
,列表如下:
由表格可知:函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)和(
1
a
-1,+∞)
上單調遞減,
在區(qū)間(1,
1
a
-1)
上單調遞增.
綜上可知:①當a=0時,當x∈(0,1)時,函數(shù)f(x)單調遞減;
當x∈(1,+∞)時,函數(shù)f(x)單調遞增.
②函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)和(
1
a
-1,+∞)
上單調遞減,在區(qū)間(1,
1
a
-1)
上單調遞增.
點評:熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、分類討論的思想方法等是解題的關鍵.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+
1-a
x
-1
(a∈R).
(Ⅰ)當a=-1時,求曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程;
(Ⅱ)當0≤a<
1
2
時,討論f(x)的單調性.

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已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+
1-a
x
-1(a∈R).
(1)當a=-1時,求函數(shù)的單調區(qū)間;
(2)當0≤a<
1
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時,討論f(x)的單調性.

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