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14.已知f(x)=(2-a)x-2(1+lnx)+a,g(x)=exex
(1)若a=1,求函數(shù)f(x)在(1,f(1))處的切線方程;
(2)若對任意給定的x0∈(0,e],在(0,e2]上方程f(x)=g(x0)總存在兩個不等的實數(shù)根,求實數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)求出函數(shù)的導數(shù),計算f(1),f′(1),求出切線方程即可;
(2)求出g(x)的范圍,得到f(x)=g(x0)?(2-a)(x-1)-g(x0)=2lnx,記h(x)=(2-a)(x-1)-g(x0),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可.

解答 解:(1)a=1時,f(x)=x-2(1+lnx)+1,
f′(x)=1-2x=x2x,
f(1)=0,f′(1)=-1,
故切線方程是:y=-x+1;
(2)g′(x)=(1-x)e1-x,g(x)在(0,1)遞增,在(1,e)遞減,
而g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e2-e>0,
∴g(x)∈(0,1],
f(x)=g(x0)?(2-a)(x-1)-g(x0)=2lnx,
記h(x)=(2-a)(x-1)-g(x0),
h(1)=-g(x0)<0,h′(x)=(2-a)-2x,
①a≥2-2e2時,h(x)在(0,e2]遞減,不可能有兩個零點,
②a<2-2e2時,h(x)在(0,22a)遞減,在(22a,e2]遞增,
h(ea32)>a-2-(a-3)-g(x0)≥0,
h(x)有2個零點,
必有h(e2)≥0⇒a≤2-5e21
綜上:a≤2-5e21

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,最值問題,考查導數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題,是一道中檔題.

練習冊系列答案
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