Question

14．已知f（x）=（2-a）x-2（1+lnx）+a，g（x）=$\frac{ex}{e^x}$．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）若對任意給定的x₀∈（0，e]，在（0，e²]上方程f（x）=g（x₀）總存在兩個不等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f（1），f′（1），求出切線方程即可；
（2）求出g（x）的范圍，得到f（x）=g（x₀）?（2-a）（x-1）-g（x₀）=2lnx，記h（x）=（2-a）（x-1）-g（x₀），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）a=1時，f（x）=x-2（1+lnx）+1，
f′（x）=1-$\frac{2}{x}$=$\frac{x-2}{x}$，
f（1）=0，f′（1）=-1，
故切線方程是：y=-x+1；
（2）g′（x）=（1-x）e^1-x，g（x）在（0，1）遞增，在（1，e）遞減，
而g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e^2-e＞0，
∴g（x）∈（0，1]，
f（x）=g（x₀）?（2-a）（x-1）-g（x₀）=2lnx，
記h（x）=（2-a）（x-1）-g（x₀），
h（1）=-g（x₀）＜0，h′（x）=（2-a）-$\frac{2}{x}$，
①a≥2-$\frac{2}{{e}^{2}}$時，h（x）在（0，e²]遞減，不可能有兩個零點，
②a＜2-$\frac{2}{{e}^{2}}$時，h（x）在（0，$\frac{2}{2-a}$）遞減，在（$\frac{2}{2-a}$，e²]遞增，
h（${e}^{\frac{a-3}{2}}$）＞a-2-（a-3）-g（x₀）≥0，
h（x）有2個零點，
必有h（e²）≥0⇒a≤2-$\frac{5}{{e}^{2}-1}$，
綜上：a≤2-$\frac{5}{{e}^{2}-1}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．