Question

某種商品在30天內(nèi)每件的銷售價(jià)格P（元）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系用如圖表示，該商品在30天內(nèi)日銷售量Q（件）與時(shí)間t（天）之間的關(guān)系如下表：

t/天	5	10	20	30
Q/件	45	40	30	20

（Ⅰ）根據(jù)提供的圖象（如圖），寫出該商品每件的銷售價(jià)格P與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）根據(jù)表1提供的數(shù)據(jù)，寫出日銷售量Q與時(shí)間t的一次函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅲ）求該商品的日銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大的一天是30天中的第幾天．（日銷售金額=每件的銷售價(jià)格×日銷售量）．

Answer 1

考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類型

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（I）由已知中的函數(shù)圖象，利用待定系數(shù)法，分別求出兩段函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解析式，進(jìn)而可得該商品每件的銷售價(jià)格P與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系；
（Ⅱ）根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法，可得日銷售量Q與時(shí)間t的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅲ）根據(jù)分段函數(shù)不同段上的表達(dá)式，分別求最大值最終取較大者分析即可獲得問(wèn)題解答．

解答： 解：（I）根據(jù)圖象甲，當(dāng)0＜t＜25時(shí)，P=t+20，當(dāng)25≤t≤30時(shí)，P=-t+100，…（2分）
∴每件商品的銷售價(jià)格P與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式
P=

t+20，0＜t＜25 -t+100，25≤t≤30

（t∈N）…（4分）
（II）可設(shè)日銷售量Q與時(shí)間t的一次函數(shù)關(guān)系式為Q=kt+b，將（10，40），（20，30）代入易求得k=-1，b=50，
∴日銷售量Q與時(shí)間t的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式為Q=-t+50（0＜t≤30，t∈N）．               …（7分）
（III）當(dāng)0＜t＜25，t∈N₊時(shí)，y=（t+20）（-t+50）=-t²+30t+1000=-（t-15）²+775．
∴t=15（天）時(shí)，y_max=775（元），
當(dāng)25≤t≤30，t∈N₊時(shí)，y=（-t+100）（-t+50）=t²-150t+5000=（t-75）²-225，在t∈[25，30]時(shí)，函數(shù)遞減．∴t=25（天）時(shí)，y_max=1875（元）．
∵1875＞775，∴y_max=1875（元）．
故所求日銷售金額的最大值為1125元，且在最近30天中的第25天日銷售額最大．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．