Question

20．已知f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，?x∈R有f（x）-f（2-x）=6x-6，（x-1）[f′（x）-2x-1]＜0，若f（m+1）＜f（2m）-3m²+m+2，則m的取值范圍為$（\frac{1}{3}，1）$．

Answer 1

分析 利用構(gòu)造法設(shè)g（x）=f（x）-x²-x，推出g（x）的對(duì)稱軸，判斷g（x）的單調(diào)性，然后推出不等式得到結(jié)果．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-x²-x，g′（x）=f′（x）-2x-1
當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）=f′（x）-2x-1＜0，∴函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∵?x∈R有f（x）-f（2-x）=6x-6
∴，?x∈R有g(shù)（x）=g（2-x），可得函數(shù)g（x）關(guān)于直線x=1對(duì)稱．
∴函數(shù)g（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，
不等式f（m+1）＜f（2m）-3m²+m+2?g（m+1）＜g（2m）
|m+1-1|＞|2m-1|，得m²＞（2m-1）²
解得$\frac{1}{3}$＜m＜1．
則實(shí)數(shù)m的取值范圍為：（$\frac{1}{3}$，1）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，構(gòu)造函數(shù)思想，屬于中檔題．