Question

3．大學(xué)生趙敏利用寒假參加社會(huì)實(shí)踐，對(duì)機(jī)械銷(xiāo)售公司7月份至12月份銷(xiāo)售某種機(jī)械配件的銷(xiāo)售量及銷(xiāo)售單價(jià)進(jìn)行了調(diào)查，銷(xiāo)售單價(jià)x和銷(xiāo)售量y之間的一組數(shù)據(jù)如表所示：

月份i	7	8	9	10	11	12
銷(xiāo)售單價(jià)xi（元）	9	9.5	10	10.5	11	8
銷(xiāo)售量yi（件）	11	10	8	6	5	14

（1）根據(jù)7至11月份的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸直線方程；
（2）若由回歸直線方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與剩下的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過(guò)0.5元，則認(rèn)為所得到的回歸直線方程是理想的，試問(wèn)（1）中所得到的回歸直線方程是否理想？
（3）預(yù)計(jì)在今后的銷(xiāo)售中，銷(xiāo)售量與銷(xiāo)售單價(jià)仍然服從（1）中的關(guān)系，若該種機(jī)器配件的成本是2.5元/件，那么該配件的銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為多少元才能獲得最大利潤(rùn)？（注：利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入-成本）．
參考公式：回歸直線方程$\hat y=\hat bx+\hat a$，其中$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n•\overline x•\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，參考數(shù)據(jù)：$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}=392，}\sum_{i=1}^n{x_i^2=502.5}$．

Answer 1

分析 （1）計(jì)算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數(shù)，寫(xiě)出回歸直線方程；
（2）根據(jù)回歸直線方程，計(jì)算對(duì)應(yīng)的數(shù)值，判斷回歸直線方程是否理想；
（3）求銷(xiāo)售利潤(rùn)函數(shù)W，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求最大值即可．

解答 解：（1）因$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（9+9.5+10+10.5+11）=10，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（11+10+8+6+5）=8，
所以$\hat b=\frac{392-5×10×8}{{502.5-5×{{10}^2}}}=-3.2$，
則$\hat a=8-（{-3.2}）×10=40$，
于是y關(guān)于x的回歸直線方程為$\hat y=-3.2x+40$；
（2）當(dāng)x=8時(shí)，$\hat y=-3.2×8+40=14.4$，
則$|{\hat y-y}|=14.4-14=0.4＜0.5$，
所以可以認(rèn)為所得到的回歸直線方程是理想的；
（3）令銷(xiāo)售利潤(rùn)為W，則
W=（x-2.5）（-3.2x+40）=-3.2x²+48x-100（2.5＜x＜12.5），
因?yàn)?W=3.2x（{-x+15}）-100≤3.2×{（{\frac{x-x+15}{2}}）^2}-100=80$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=-x+15，即x=7.5時(shí)，W取最大值；
所以該產(chǎn)品的銷(xiāo)售單價(jià)定為7.5元/件時(shí)，獲得的利潤(rùn)最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性回歸方程的求法與應(yīng)用問(wèn)題，是綜合題．