【題目】已知,,點滿足，記點的軌跡為.

（1）求軌跡的方程；

（2）若直線過點且與軌跡交于、兩點.

（i）無論直線繞點怎樣轉(zhuǎn)動，在軸上總存在定點，使恒成立，求實數(shù)的值.

（ii）在（i）的條件下，求面積的最小值.

【答案】（1）（2）（i）（ii）9

【解析】

（1）利用雙曲線的定義及其標準方程即可得出；（2）當直線l的斜率存在時，設直線方程為y=k（x-2），P，Q，與雙曲線方程聯(lián)立消y得，利用根與系數(shù)的關(guān)系、判別式解出即可得出．（i）利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系即可得出；（ii）利用點到直線的距離公式、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式即可得出

（1）由知，點P的軌跡E是以F1、F2為焦點的雙曲線右支，由，故軌跡E的方程為

（2）當直線l的斜率存在時，設直線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立消y得，

解得k2 >3

（i）

，

故得對任意的恒成立，

∴當m =－1時，MP⊥MQ.

當直線l的斜率不存在時，由知結(jié)論也成立，

綜上，當m =－1時，MP⊥MQ.

（ii）由（i）知，，當直線l的斜率存在時，

， M點到直線PQ的距離為，則

∴

令，則，因為

所以

當直線l的斜率不存在時，

綜上可知，故的最小值為9.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率等于.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)過橢圓的右焦點作直線交橢圓于兩點，交軸于點，若，求證為定值．

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【題目】已知某中學高三文科班學生共有800人參加了數(shù)學與地理的水平測試，學校決定利用隨機數(shù)表法從中抽取100人進行成績抽樣調(diào)查．抽取的100人的數(shù)學與地理的水平測試成績?nèi)缦卤恚?/span>

人數(shù)

數(shù)學

優(yōu)秀

良好

及格

地理

優(yōu)秀

7

20

5

良好

9

18

6

及格

a

4

b

成績分為優(yōu)秀、良好、及格三個等級；橫向，縱向分別表示地理成績與數(shù)學成績，例如：表中數(shù)學成績?yōu)榱己玫墓灿?0+18+4=42人．

（1）在該樣本中，數(shù)學成績優(yōu)秀率是30%，求a，b的值；

（2）在地理成績及格的學生中，已知a≥10，b≥7，求數(shù)學成績優(yōu)秀的人數(shù)比及格的人數(shù)少的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖是某公司2001年至2017年新產(chǎn)品研發(fā)費用（單位：萬元）的折線圖．為了預測該公司2019年的新產(chǎn)品研發(fā)費用，建立了與時間變量的兩個線性回歸模型．根據(jù)2001年至2017年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為1,2,…,17）建立模型①：；根據(jù)2011年至2017年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為1,2,…,7）建立模型②：．

（1）分別利用這兩個模型，求該公司2019年的新產(chǎn)品研發(fā)費用的預測值；

（2）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知為數(shù)列的前項和，，，若關(guān)于正整數(shù)的不等式的解集中的整數(shù)解有兩個，則正實數(shù)的取值范圍為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為(　　)

A.B.C.D.

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【題目】某市預測2000年到2004年人口總數(shù)與年份的關(guān)系如下表所示

年份200x（年）

0

1

2

3

4

人口數(shù)y（十）萬

5

7

8

11

19

(1)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，計算，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程

(2) 據(jù)此估計2005年該城市人口總數(shù)。

(參考數(shù)值：0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132，

參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】

已知數(shù)列中，，前項和．

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）設數(shù)列的前項和為，是否存在實數(shù)，使得對一切正整數(shù)都成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．

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【題目】已知，函數(shù)

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，求證：

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