Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{|{{{log}_2}x}|，0＜x＜2}\\{-cos（\frac{π}{2}x），2≤x≤6}\end{array}}$若存在互不相等的實(shí)數(shù)x₁，x₂，x₃，x₄滿(mǎn)足f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），則x₁•x₂•x₃•x₄的取值范圍是（12，15）．

Answer 1

分析 畫(huà)出分段函數(shù)的圖象，求得（2，1），（6，1），令f（x_l）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄）=a，作出直線y=a，通過(guò)圖象觀察，可得a的范圍，運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和余弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，可得x₁x₂=1，x₃+x₄=8，再由二次函數(shù)在（2，3）遞增，即可得到所求范圍．

解答 解：畫(huà)出函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{|{{{log}_2}x}|，0＜x＜2}\\{-cos（\frac{π}{2}x），2≤x≤6}\end{array}}$的圖象，

令f（x_l）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄）=a，
作出直線y=a，
由x=2時(shí)，f（2）=-cosπ=1；x=6時(shí)，f（6）=-cos3π=1．
由圖象可得，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，直線和曲線y=f（x）有四個(gè)交點(diǎn)．
由圖象可得0＜x₁＜1＜x₂＜2＜x₃＜3，5＜x₄＜6，
則|log₂x₁|=|log₂x₂|，即為-log₂x₁=log₂x₂，可得x₁x₂=1，
由y=-cos（x）的圖象關(guān)于直線x=4對(duì)稱(chēng)，可得x₃+x₄=8，
則x₁•x₂•x₃•x₄=x₃（8-x₃）=-（x₃-4）²+16在（2，3）遞增，
即有x₁•x₂•x₃•x₄∈（12，15）．
故答案為：（12，15）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的圖象及運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．