8．已知函數(shù)f（x）=x2-ax的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，記數(shù)列$\{\frac{1}{f（n）}\}$的前n項(xiàng)和為Sn，則S2016的值為$\frac{2016}{2017}$．

分析 求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，解方程可得a=-1，求出$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，再由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：函數(shù)f（x）=x2-ax的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x-a，
可得函數(shù)f（x）圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線斜率k=f′（1）=2-a，
由切線l與直線x+3y-1=0垂直，可得2-a=3，解得a=-1，
即有f（x）=x2+x=x（x+1），
故$\frac{1}{f（n）}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
則${S_{2016}}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}$=$1-\frac{1}{2017}=\frac{2016}{2017}$．
故答案為：$\frac{2016}{2017}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，同時(shí)考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

14．求函數(shù)y=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）在x∈[0，π]范圍內(nèi)的最值，并說(shuō)出取得最值時(shí)x的取值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

15．已知集合A={x|y=1n（1-x2）}，B={y|y=1n（1-x2）}，則CR（A∩B）=（　　）
A．（-∞，-1）∪（0，+∞）B．（-∞，-1]∪[0，+∞）C．（-1，0）D．[-1，0]

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

16．用秦九韶算法計(jì)算函數(shù)f（x）=2x5-3x3+5x2-4，當(dāng)x=2時(shí)的函數(shù)值時(shí)，v3=15．
（其中，當(dāng)f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{{v}_{0}={a}_{n}}\\{{v}_{k}={v}_{k-1}x+{a}_{n-k}（k=1，2，…，n）}\end{array}$）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

3．函數(shù)f（x）=xex在點(diǎn)（-1，f（-1））處的切線方程為y=-$\frac{1}{e}$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

13．已知函數(shù)g（x）=2alnx+x2-2x，a∈R．
（1）若函數(shù)g（x）在定義域上為單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）設(shè)A，B是函數(shù)g（x）圖象上的不同的兩點(diǎn)，P（x0，y0）為線段AB的中點(diǎn)．
（i）當(dāng)a=0時(shí)，g（x）在點(diǎn)Q（x0，g（x0））處的切線與直線AB是否平行？說(shuō)明理由；
（ii）當(dāng)a≠0時(shí)，是否存在這樣的A，B，使得g（x）在點(diǎn)Q（x0，g（x0））處的切線與直線AB平行？說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

20．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{{e}^{x}}$，g（x）=ln（x2+1）．
（Ⅰ）若在x=0處y=f（x）和y=g（x）圖象的切線平行，求a的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）-a，x≤a}\\{g（x）-a，x＞a}\end{array}\right.$，討論函數(shù)h（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

17．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（1）若a=-2，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

18．已知函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{|{{{log}_2}x}|，0＜x＜2}\\{-cos（\frac{π}{2}x），2≤x≤6}\end{array}}$若存在互不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，x3，x4滿足f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），則x1•x2•x3•x4的取值范圍是（12，15）．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案