Question

對于函數f（x）=

sinπx，   x∈[0，2] 1 2 f(x-2)，x∈(2，+∞)

，有下列4個命題：
①任取x₁、x₂∈[0，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2恒成立；
②f（x）=2kf（x+2k）（k∈N^*），對于一切x∈[0，+∞）恒成立；
③函數y=f（x）-ln（x-1）有3個零點；
④對任意x＞0，不等式f（x）≤

k

x

恒成立，則實數k的取值范圍是[

9

8

，+∞）．
則其中所有真命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：綜合題,數形結合,函數的性質及應用

分析：作出f（x）=

sinπx，   x∈[0，2] 1 2 f(x-2)，x∈(2，+∞)

的圖象，利用圖象可得結論．

解答： 解：f（x）=

sinπx，   x∈[0，2] 1 2 f(x-2)，x∈(2，+∞)

的圖象如圖所示：
①f（x）的最大值為1，最小值為-1，∴任取x₁、x₂∈[0，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2恒成立，正確；
②f（

1

2

）=2f（

1

2

+2）=4f（

1

2

+4）=8f（

1

2

+6）≠8f（

1

2

+8），故不正確；
③如圖所示，函數y=f（x）-ln（x-1）有3個零點；
④把（

5

2

，

1

2

）代入，可得k＞

9

8

．
故答案為：①③．

點評：本題考查分段函數的應用，考查數形結合的數學思想，正確作出函數的圖象是關鍵．