Question

9．設函數(shù)f（x）的定義域是R，且f（x）＞0，對于任意實數(shù)m，n恒有f（m+n）=f（m）f（n），當x＞0時，f（x）＞1，試判斷f（x）在R上的單調性，并給以證明．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）在R上是單調遞增函數(shù)，利用定義，結合題意即可證明結論成立．

解答 解：函數(shù)f（x）在R上是單調遞增函數(shù)，
證明如下：設x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，
則x₁-x₂＞0，
又x＞0時，f（x）＞1，
∴f（x₁-x₂）＞1；
又x∈R時，f（x）＞0，
∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）•f（x₂）＞f（x₂）；
∴函數(shù)f（x）在R上是單調遞增函數(shù)．

點評 本題考查了用定義證明函數(shù)的單調性問題，是基礎題目．